在一个不透明的口袋里装有分别标注2、4、6的3个小球（小球除-优题课

在一个不透明的口袋里装有分别标注2、4、6的3个小球（小球除数字外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字6、7、8的卡片．现从口袋中任意摸出一个小球，再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片．
（1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果；
（2）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则：
规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢.
规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢.
小红想要在游戏中获胜机会更大些，她会选择哪一条规则，并说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

小云在学习过程中遇到一个函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)$ ．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（ 1 ）当 $- 2 \leq x < 0$ 时，对于函数 $y_{1} = | x |$ ，即 $y_{1} = - x$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而，且 $y_{1} > 0$ ；对于函数 $y_{2} = x^{2} - x + 1$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而，且 $y_{2} > 0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而．

（ 2 ）当 $x \geq 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

综合上表，进一步探究发现，当 $x \geq 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出当 $x \geq 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（ 3 ）过点 $(0 ， m)$ （ $m > 0$ ）作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（ 1 ）（ 2 ）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $BA$ 延长线上一点， $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线， $D$ 为切点， $OF ⊥ AD$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ．

（ 1 ）求证： $∠ ADC = ∠ AOF$ ；

（ 2 ）若 $\sin C = \frac{1}{3}$ ， $BD = 8$ ，求 $EF$ 的长．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = x$ 的图象平移得到，且经过点 $(1 ， 2)$ ．

（ 1 ）求这个一次函数的解析式；

（ 2 ）当 $x > 1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = mx (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = kx + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $AD$ 的中点，点 $F, G$ 在 $AB$ 上， $EF ⊥ AB$ ， $OG ∥ EF$ ．

（1 ）求证：四边形 $OEFG$ 是矩形；

（ 2 ）若 $AD = 10$ ， $EF = 4$ ，求 $OE$ 和 $BG$ 的长．

已知：如图， $△ A B C$ 为锐角三角形， $A B = B C ， C D ∥ A B$ ．

求作：线段 BP ，使得点 P 在直线 CD 上，且 $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ BAC$ ．

作法：①以点 A 为圆心， AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C ， P 两点；②连接 BP ．线段 BP 就是所求作线段．

（ 1 ）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（ 2 ）完成下面的证明．

证明： $∵ C D ∥ A B$ ，

$∴ ∠ A B P =$ ．

$∵ A B = A C$ ，

∴点 B 在⊙ A 上．

又∵ $∠ B P C = \frac{1}{2} ∠ B A C$ （）（填推理依据）

∴ $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ B A C$