某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。
（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数
的方差是多少？
如图，四棱锥P—ABCD中，
为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，
，E为PD点上一点，满足
(1)证明：平面ACE
平面ABCD；
(2)求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小．
德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，
| 课程 |
初等代数 |
初等几何 |
初等数论 |
微积分初步 |
| 合格的概率 |
 |
 |
|
 |
（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（2）记
表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望
．
已知函数
，
且函数
的最小正周期为
.
(1)求
的值和函数的单调增区间；
(2)在
中，角A、B、C所对的边分别是
、
、
，又
，
，的面积等于
，求边长的值．
数列
的前
项组成集合
，从集合
中任取
个数，其所有可能的
个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记
．例如：当
时，
，
，
；当
时，
，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）猜想
，并用数学归纳法证明．
如图（1），等腰直角三角形
的底边
，点
在线段
上，
于
，现将
沿
折起到
的位置（如图（2））．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
，直线
与平面
所成的角为
，求
长．