为何值时，关于的方程的解是的解的2倍？-优题课

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， $ΔABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3, 4)$ ， $B (- 5, 2)$ ， $C (- 2, 1)$ ．

（1）画出 $ΔABC$ 关于 $y$ 轴的对称图形△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）画出将 $ΔABC$ 绕原点 $O$ 逆时针方向旋转 $90 °$ 得到的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

（3）求（2）中线段 $OA$ 扫过的图形面积．

在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + \frac{5}{3} x + c$ 的图象经过点 $C (0, 2)$ 和点 $D (4, - 2)$ ．点 $E$ 是直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式及点 $E$ 的坐标．

（2）如图①，若点 $M$ 是二次函数图象上的点，且在直线 $CE$ 的上方，连接 $MC$ ， $OE$ ， $ME$ ．求四边形 $COEM$ 面积的最大值及此时点 $M$ 的坐标．

（3）如图②，经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的圆交 $y$ 轴于点 $F$ ，求点 $F$ 的坐标．

如图， $AB$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ 是 $AB$ 延长线上的点， $AC$ 的垂直平分线交半圆于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $E$ ，连接 $DA$ ， $DC$ ．已知半圆 $O$ 的半径为3， $BC = 2$ ．

（1）求 $AD$ 的长．

（2）点 $P$ 是线段 $AC$ 上一动点，连接 $DP$ ，作 $∠ DPF = ∠ DAC$ ， $PF$ 交线段 $CD$ 于点 $F$ ．当 $ΔDPF$ 为等腰三角形时，求 $AP$ 的长．

在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元 $/$ 千克，售价不低于20元 $/$ 千克，且不超过32元 $/$ 千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 $y$ （千克）与该天的售价 $x$ （元 $/$ 千克）满足如下表所示的一次函数关系．

销售量 $y$ （千克）	$\dots$	34.8	32	29.6	28	$\dots$
售价 $x$ （元 $/$ 千克）	$\dots$	22.6	24	25.2	26	$\dots$

（1）某天这种水果的售价为23.5元 $/$ 千克，求当天该水果的销售量．

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

如图，正方形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $AB$ 、 $BC$ 上 $(AE < BE)$ ，且 $∠ EOF = 90 °$ ， $OE$ 、 $DA$ 的延长线交于点 $M$ ， $OF$ 、 $AB$ 的延长线交于点 $N$ ，连接 $MN$ ．

（1）求证： $OM = ON$ ．

（2）若正方形 $ABCD$ 的边长为4， $E$ 为 $OM$ 的中点，求 $MN$ 的长．