甲、乙两人玩一种游戏:在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5五个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)求甲赢且编号和为6的事件发生的概率;
(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
(本小题满分14分)设椭圆的离心率为
=
,点
是椭圆上的一点,且点
到椭圆
两焦点的距离之和为4.
(I)求椭圆的方程;
(II)设椭圆上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围.
(本题满分14分)如图,在棱长为的正方体中,
为线段
上的点,且满足
.
(Ⅰ)当时,求证:平面
平面
;
(Ⅱ)试证无论为何值,三棱锥
的体积恒为定值;
(Ⅲ)求异面直线与
所成的角的余弦值.
(本小题满分12分)某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有次选题答题的机会,选手累计答对
题或答错
题即终止其初赛的比赛:答对
题者直接进入决赛,答错
题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相同,并且相互之间没有影响,答题连续两次答错的概率为
.
⑴求选手甲可进入决赛的概率;
⑵设选手甲在初赛中答题的个数为,试求
的分布列,并求
的数学期望.
(本小题满分14分)如图5,一架飞机原计划从空中处直飞相距
的空中
处,为避开直飞途中的雷雨云层,飞机在
处沿与原飞行方向成
角的方向飞行,在中途
处转向与原方向线成
角的方向直飞到达
处.已知
.
⑴在飞行路径中,求
;
⑵求新的飞行路程比原路程多多少.
(参考数据:,
)
(本小题满分14分)单调函数,
.
(1)证明:f(0)=1且x<0时f(x)>1;