如图,四棱锥SABCD中,ABCD为矩形,SD⊥AD,且SD-优题课

如图,四棱锥S-ABCD中,ABCD为矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=a(a>0),AB=2AD,SD=AD,E为CD上一点,且CE=3DE.

(1)求证:AE⊥平面SBD.
(2)M,N分别为线段SB,CD上的点,是否存在M,N,使MN⊥CD且MN⊥SB,若存在,确定M,N的位置;若不存在,说明理由.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：空间向量基本定理及坐标表示

如图，在三棱台 $ABC ﹣ DEF$ 中，已知平面 $BCFE ⊥$ 平面 $ABC$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $BE = EF = FC = 1$ ， $BC = 2$ ， $AC = 3$ ，

（1）求证： $EF ⊥$ 平面 $ACFD$ ；

（2）求二面角 $B ﹣ AD ﹣ F$ 的余弦值．

在 $△ ABC$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b + c = 2 acosB$ ．

（1）证明： $A = 2 B$

（2）若 $△ ABC$ 的面积 $S = \frac{a^{2}}{4}$ ，求角A的大小．

设 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 是两个等差数列，记 $c_{n} = \max {b_{1} ﹣ a_{1} n ， b_{2} ﹣ a_{2} n ， \dots ， b_{n} ﹣ a_{n} n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ ，其中 $\max {x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{s}}$ 表示 $x_{1} ， x_{2} ，$ ， …， $x_{s}$ 这s个数中最大的数．

（1）若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2 n ﹣ 1$ ，求 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ 的值，并证明{c_n}是等差数列；

（2）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geq m$ 时， $\frac{c_{n}}{n} ＞ M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}$ ， $c_{m + 1}$ ， $c_{m + 2}$ ， …是等差数列．

已知函数 $f (x) = e^{x} cosx ﹣ x$ ．

（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（2）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 px$ 过点 $P (1 ， 1)$ ．过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM的中点．

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