已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)-优题课

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题文

已知函数f(x)＝e^x－e^－x(x∈R且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：函数的基本性质

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已知 $x > 0, y > 0$ ，证明 $(1 + x + y^{2}) (1 + x^{2} + y) \geq 9 x y$

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程 ${\begin{matrix} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} t$ （ $t$ 为参数），直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于 $A B$ 两点，求线段 $A B$ 的长.

如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $C D$ 是圆 $O$ 上位于 $A B$ 异侧的两点，证明 $∠ A O B = ∠ D$

设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若对任意的正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $S_{n} = a_{m}$ ，则称 ${a_{n}}$ 是" $H$ 数列".
（1）若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，证明： ${a_{n}}$ 是" $H$ 数列".
（2）设 ${a_{n}}$ 是等差数列，其首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d < 0$ ，若 ${a_{n}}$ 是" $H$ 数列"，求 $d$ 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 ${a_{n}}$ ，总存在两个" $H$ 数列" ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n} (n \in N^{*})$ 成立.

已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.
（1）证明： $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $m f (x) \leq e^{- x} + m - 1$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
（3）已知正数 $a$ 满足：存在 $x_{0} \in (1, + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) < a (- {x_{0}}^{3} + 3 x_{0})$ 成立，试比较 $e^{a - 1}$ 与 $a^{e - 1}$ 的大小，并证明你的结论.

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