(本小题满分14分)已知函数,且
(Ⅰ)试用含的代数式表示
;
(Ⅱ)求 的单调区间;
(Ⅲ)令,设函数
在
处取得极值,记点
证明:线段
与曲线
存在异于
、
的公共点.
(本小题满分13分) 如图,已知点A(1,)是离心率为
的椭圆C:
上的一点,斜率为
的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点互不重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求证:直线AB、AD的斜率之和为定值.
(本小题满分12分)已知数列满足
.
(Ⅰ)设,证明:数列
为等差数列,并求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前
项和
.
(本小题满分12分)已知三棱柱ABC-中,平面
⊥底面ABC,BB′⊥AC,底面ABC是边长为2的等边三角形,
=3,E、F分别在棱
,
上,且AE=
=2.
(Ⅰ)求证:⊥底面ABC;
(Ⅱ)在棱上找一点M,使得
∥平面BEF,并给出证明.
(本小题满分12分)在某高校自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为五个等级.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为
的考生有
人.
(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数;
(Ⅱ)若等级分别对应
分,
分,
分,
分,
分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;
(Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为.在至少一科成绩为
的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为
的概率.