（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，圆O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，点
是线段
延长线上一点，连接PN,且满足
（Ⅰ）求证：
是圆O的切线；
(Ⅱ)若圆O的半径为
，OA=
OM，求MN的长.
（本小题满分12分）从广东省某市高三第一次模拟考试成绩中，随机抽取了
名学生的数学成绩得到频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计该市高三学生本次模拟考试数学成绩的平均分；
（2）以上述样本的频率作为概率，从该市高三学生中有放回地抽取
人，记抽到的学生数学成绩不低于
分的人数为
，求的分布列和数学期望．
（本小题满分12分）已知向量
，
，设函数
，
．
（1）求函数
在区间
上的最大值．
（2）设
，
，求
的值．
（本小题满分14分）已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）设
，若对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围．
（本小题满分12分）如图，曲线
是以原点
为中心，
轴上的点
为焦点的椭圆，曲线
是以原点为顶点，
为焦点的抛物线的一部分（
），
是曲线和的交点，已知
为钝角且
（Ⅰ）分别求曲线和曲线的方程；
（Ⅱ）过点
作倾斜角互补的两条直线，分别交曲线于
，求
面积的最大值．
（本小题满分12分）等差数列
的前
项和为
，数列
是等比数列，满足
．
（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
．