在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极-优题课

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若，求的值.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：参数方程

设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (\sqrt{2}, 1)$ ，且左焦点为 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0)$

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）当过点 $P (4, 1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交与两不同点 $A, B$ 时，在线段 $A B$ 上取点 $Q$ ，满足 $|\overset{⇀}{A P}| = |\overset{⇀}{Q B}| = |\overset{⇀}{A Q}| = |\overset{⇀}{P B}|$ ，证明：点 $Q$ 总在某定直线上.

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{0} = 0, a_{n + 1} = c {a_{n}}^{3} + 1 - c, c \in N^{*}$ ,其中 $c$ 为实数.
（Ⅰ）证明： $a_{n} \in [0, 1]$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立的充分必要条件是 $c \in [0, 1]$ .

（Ⅱ）设 $0 < c < \frac{1}{3}$ ，证明： $a_{n} \geq 1 - (3 c)^{n - 1}, n \in N^{*}$ ;
（Ⅲ）设 $0 < c < \frac{1}{3}$ ，证明： ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + . . . . + {a_{n}}^{2} > n + 1 - \frac{2}{1 - 3 c}, n \in N^{*}$

设函数 $f (x) = \frac{1}{x \ln x} (x > 0 且 x \neq 1)$

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）已知 $2^{\frac{1}{x}} > x^{2}$ 对任意 $x \in (0, 1)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 $n$ 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 $p$ ，设 $ξ$ 为成活沙柳的株数，数学期望 $E ξ = 3$ ，标准差 $σ ξ$ 为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
（Ⅰ）求 $n, p$ 的值并写出 $ξ$ 的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.

(本小题满分14分)设b>0，椭圆方程为，抛物线方程为.如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛物线在

第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经
过椭圆的右焦点.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在
抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？
若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由
（不必具体求出这些点的坐标）.

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