已知平面直角坐标系,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系-优题课

已知平面直角坐标系,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,,曲线的参数方程为.点是曲线上两点，点的极坐标分别为.
（1）写出曲线的普通方程和极坐标方程;
（2）求的值.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：参数方程

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 $A_{1}$ ， $A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A, A_{8}$ （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$ 。若 $X = 0$ 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。

（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求 $X$ 的分布列和数学期望.

正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： ${S_{n}}^{2} - (n^{2} + n - 1) S_{n} - (n^{2} + n) = 0$

（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）令 $b_{n} = \frac{n + 1}{{(n + 2)}^{2} {a_{n}}^{2}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．证明：对于任意 $n \in N^{+}$ ，都有 $T_{n} < \frac{5}{64}$ .

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos C + (\cos A - \sqrt{3} \sin A) \cos B = 0$ .

（1）求角 $B$ 的大小；
（2）若 $a + c = 1$ ，求 $b$ 的取值范围.

设 $n$ 是正整数， $r$ 为正有理数．
（1）求函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r + 1} - (r + 1) x - 1 (x > - 1)$ 的最小值；
（2）证明： $\frac{n^{r + 1} - {(n - 1)}^{r + 1}}{r + 1} < n^{r} < \frac{{(n + 1)}^{r + 1} - n^{r + 1}}{r + 1}$ ；
（3）设 $x \in R$ ，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2] = 2, [π] = 4, [- \frac{3}{2}] = - 1$ ．令 $S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \dots + \sqrt[3]{125} ，求 S$ 的值．
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}} \approx 344.7, 81^{\frac{4}{3}} \approx 350.5 ， 124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3 ， 126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7$ ．

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心在坐标原点 $O$ ，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n (m > n)$ ，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线l $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ ，记 $λ = \frac{π}{n}$ ， $∆ B D M$ 和 $∆ A B N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．
（1）当直线 $l 与 y$ 轴重合时，若 $S_{1} = λ S_{2}$ ，求 $λ$ 的值；
（2）当 $λ$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$ ，使得 $S_{1} = λ S_{2}$ ？并说明理由．

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