（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如下图所示，
内接于圆
，
，直线
切圆于点
，
，
与
相交于点
．求证：
．
（本小题满分12分）已知椭圆
：
的右焦点
和上顶点
在直线
上，
、
为椭圆上不同两点，且满足
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线
恒过定点
．
（本小题满分12分）已知函数
，在
处取得极值且在点
处的切线与
平行．
（1）求函数
的解析式；
（2）当
在
上的最小值和最大值；
（3）若方程
在
上有三个不同实根，求实数
的取值范围．
（本小题满分12分）在某次质量抽测后一数学老师随机抽取了30位（其中男、女各15名）学生的成绩，得出如下表，假设80分为“优秀”，否则为“不优秀”．
| 性别 |
成绩 |
| 男 |
83 81 96 68 83 77 86 97 78 64 85 91 90 99 82 |
| 女 |
74 70 68 86 92 72 76 78 78 64 86 66 79 68 70 |
（1）根据以上数据，试估计本次质量抽测数学科的优秀率（保留小数后三位）；
（2）完成下列
列联表：
| 优秀 |
不优秀 |
合计 |
|
| 男 |
 |
||
| 女 |
|
||
| 合计 |
 |
（3）利用分层抽样在“不优秀”的学生中抽取4人，再从抽取的4人随机抽取2人调查学习情况，求抽到一男一女的概率．
（本小题满分12分）如图等边三角形
所在平面与菱形
所在平面互相垂直，
为
中点，
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求点
到平面
的距离．
是公差不为零的等差数列，
，且
是
和
的等比中项，求：
.