已知椭圆(a<b<0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O-优题课

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}$ （ $i$ =1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i$ （ $i$ =1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为1的频数	输出 $y$ 的值为2的频数	输出 $y$ 的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计表（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为1的频数	输出 $y$ 的值为2的频数	输出 $y$ 的值为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i$ （ $i$ =1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 且 $\cos (A - B) \cos B - \sin (A - B) \sin (A + C) = - \frac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求 $\sin A$ 的值；
（Ⅱ）若 $a = 4 \sqrt{2}, b = 5$ ，求向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影．

在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} - a_{1} = 2$ ，且 $2 a_{2}$ 为 $3 a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项，求数列 ${a_{n}}$ 的首项、公比及前 $n$ 项和．

已知：，求证：.

已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（Ⅰ）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆、是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．