若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有实数根，求k的取-优题课

为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级1000名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取一个班学生的成绩进行整理，分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部分），请依据如图提供的信息，完成下列问题：

（1）请估计本校初三年级等级为 $A$ 的学生人数；

（2）学校决定从得满分的3名女生和2名男生中随机抽取3人参加市级比赛，请求出恰好抽到2名女生和1名男生的概率．

文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．

（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？

（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完． $)$

问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ ABC = 30 °$ ，则： $AC = \frac{1}{2} AB$ ．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接 $AB$ 边上中线 $CE$ ，由于 $CE = \frac{1}{2} AB$ ，易得结论：① $ΔACE$ 为等边三角形；② $BE$ 与 $CE$ 之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点 $D$ 是边 $CB$ 上任意一点，连接 $AD$ ，作等边 $ΔADE$ ，且点 $E$ 在 $∠ ACB$ 的内部，连接 $BE$ ．试探究线段 $BE$ 与 $DE$ 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点 $D$ 为边 $CB$ 延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段 $BE$ 与 $DE$ 之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论　　．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(- \sqrt{3}$ ， $1)$ ，点 $B$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点，以 $AB$ 为边作等边 $ΔABC$ ，当 $C$ 点在第一象限内，且 $B (2, 0)$ 时，求 $C$ 点的坐标．

如图，已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 1)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $BC$ 上方的抛物线上求一点 $P$ ，使 $ΔPBC$ 面积为1；

（3）在 $x$ 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$ ，使 $∠ BQC = ∠ BAC$ ？若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由．

如图所示， $⊙ O$ 的半径为4，点 $A$ 是 $⊙ O$ 上一点，直线 $l$ 过点 $A$ ； $P$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点（不与点 $A$ 重合），过点 $P$ 作 $PB ⊥ l$ 于点 $B$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，直径 $PD$ 延长线交直线 $l$ 于点 $F$ ，点 $A$ 是 $\hat{DE}$ 的中点．

（1）求证：直线 $l$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $PA = 6$ ，求 $PB$ 的长．