实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射-优题课

实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等. 如图1,一束光线m射到平面镜a上,被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1=∠2.

(1) 如图2,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2=_____°,∠3=_____°.

(2) 在(1)中m∥n，若∠1=55°,则∠3=______°;若∠1=40°,则∠3=______°.
(3) 由(1)、(2),请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=______°时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?

科目数学题型解答题难度较难

如图，锐角三角形 $ABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAC$ 的平分线 $AG$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，交 $BC$ 边于点 $F$ ，连接 $BG$ ．

（1）求证： $ΔABG ∽ ΔAFC$ ．

（2）已知 $AB = a$ ， $AC = AF = b$ ，求线段 $FG$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）．

（3）已知点 $E$ 在线段 $AF$ 上（不与点 $A$ ，点 $F$ 重合），点 $D$ 在线段 $AE$ 上（不与点 $A$ ，点 $E$ 重合）， $∠ ABD = ∠ CBE$ ，求证： $B G^{2} = GE \cdot GD$ ．

在直角坐标系中，设函数 $y = a x^{2} + bx + 1 (a$ ， $b$ 是常数， $a \neq 0)$ ．

（1）若该函数的图象经过 $(1, 0)$ 和 $(2, 1)$ 两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）写出一组 $a$ ， $b$ 的值，使函数 $y = a x^{2} + bx + 1$ 的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知 $a = b = 1$ ，当 $x = p$ ， $q (p$ ， $q$ 是实数， $p \neq q)$ 时，该函数对应的函数值分别为 $P$ ， $Q$ ．若 $p + q = 2$ ，求证： $P + Q > 6$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AC$ 边于点 $D$ ， $AE ⊥ BC$ 于点 $E$ ．已知 $∠ ABC = 60 °$ ， $∠ C = 45 °$ ．

（1）求证： $AB = BD$ ；

（2）若 $AE = 3$ ，求 $ΔABC$ 的面积．

在直角坐标系中，设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1}$ 是常数， $k_{1} > 0$ ， $x > 0)$ 与函数 $y_{2} = k_{2} x (k_{2}$ 是常数， $k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $A$ ，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为点 $B$ ．

（1）若点 $B$ 的坐标为 $(- 1, 2)$ ，

①求 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的值；

②当 $y_{1} < y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围；

（2）若点 $B$ 在函数 $y_{3} = \frac{k_{3}}{x} (k_{3}$ 是常数， $k_{3} \neq 0)$ 的图象上，求 $k_{1} + k_{3}$ 的值．

在① $AD = AE$ ，② $∠ ABE = ∠ ACD$ ，③ $FB = FC$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = ∠ ACB$ ，点 $D$ 在 $AB$ 边上（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $E$ 在 $AC$ 边上（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），连接 $BE$ ， $CD$ ， $BE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$ ．若　 ① $AD = AE ($ ② $∠ ABE = ∠ ACD$ 或 ③ $FB = FC)$ 　，求证： $BE = CD$ ．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．