如图中，，，如果将在坐标平面内，绕原点按顺时针方向旋转到的位-优题课

如图中，，，如果将在坐标平面内，绕原点按顺时针方向旋转到的位置．

（1）求点的坐标．
（2）求顶点从开始到点结束经过的路径长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理对称式和轮换对称式坐标与图形变化-旋转解直角三角形

如图，已知二次函数的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 和 $B (- 3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C (0, - 3)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，直线 $y = - 2 x + m$ 经过点 $A$ ，且与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与抛物线交于点 $E$ ，与对称轴交于点 $F$ .

（1）求抛物线的解析式和 $m$ 的值；

（2）在 $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得以 $D, E, P$ 为顶点的三角形与 $△ AOD$ 相似，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线 $y = 1$ 上有 $M, N$ 两点 $(M$ 在 $N$ 的左侧 $)$ ，且 $MN = 2$ ，若将线段 $MN$ 在直线 $y = 1$ 上平移，当它移动到某一位置时，四边形 $MEFN$ 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆” $AP, BP$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A, B$ 分别在射线 $OM, ON$ 上滑动， $OM ⊥ ON$ .当 $AP$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.

（1）求证: $∠ PAO = 2 ∠ PBO$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为 $5, AP = \frac{20}{3}$ ，求 $BP$ 的长.

如图，已知 $⊙ O$ 是四边形 $ABCD$ 的外接圆，直线 $AD, BC$ 相交于点 $E, F$ 是弦 $CD$ 的中点，延长直线 $EF$ 交弦 $AB$ 于点 $G$ ，求证:

（1） $ED \cdot EA = EC \cdot EB$ ；

（2） $AG : GB = A E^{2} : B E^{2}$ .

如图，已知正方形 $ABCD$ ，点 $E$ 是 $BC$ 边上一点，将 $△ ABE$ 沿直线 $AE$ 折叠，点 $B$ 落在 $F$ 处，连接 $BF$ 并延长，与 $∠ DAF$ 的平分线相交于点 $H$ ，与 $AE, CD$ 分别相交于点 $G$ ， $M$ ，连接 $HC$ .

（1）求证: $AG = GH;$

（2）若 $AB = 3, BE = 1$ ，求点 $D$ 到直线 $BH$ 的距离；

（3）当点 $E$ 在 $BC$ 边上（端点除外）运动时， $∠ BHC$ 的大小是否变化?为什么?

如图所示，在 $△ ABC$ 中， $∠ C = 90^{\circ}, ∠ BAC = 30^{\circ}, BC = 1, D$ 为 $BC$ 边上一点， $tan ∠ ADC$ 是方程 $3 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 5 (x + \frac{1}{x}) = 2$ 的一个较大的根，求 $CD$ 的长

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