已知函数.（1）当时，求函数单调区间；（2）若函数在区间1,-优题课

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已知函数.
（1）当时，求函数单调区间；
（2）若函数在区间[1,2]上的最小值为,求的值.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：函数的基本性质

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如图，A地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟）	$10 ~ 20$	$20 ~ 30$	$30 ~ 40$	$40 ~ 50$	$50 ~ 60$
$L_{1}$ 的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
$L_{2}$ 的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用 $X$ 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求 $X$ 的分布列和数学期望。

如图，从点 $P_{1} (0, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = e^{x}$ 于点 $Q_{1} (0, 1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_{1} ， Q_{1} ； P_{2} ， Q_{2} ； \dots ； P_{n} ， Q_{n}$ ,记 $P_{k}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0)$ $(k = 1, 2, \dots, n ）$ .

（Ⅰ）试求 $x_{k}$ 与 $x_{k - 1}$ 的关系（ $2 \leq k \leq n$ ）
（Ⅱ）求 $|P_{1} Q_{1}| + |P_{2} Q_{2}| + |P_{3} Q_{3}| + . . . + |P_{n} Q_{n}|$

如图，设 $P$ 是圆珠笔 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影， $M$ 为 $P D$ 上一点，且 $|M D| = \frac{4}{5} |P D|$
（Ⅰ）当 $P$ 的在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求过点 $(3, 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度.

叙述并证明余弦定理

（本小题满分14分）数列定义如下：，,．
（1）求的值；
（2）求的通项；
（3）若数列定义为：，
①证明：；②证明：．

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