如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC-优题课

如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE= ，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买 $A$ ， $B$ 两种花木共100棵绿化操场，其中 $A$ 花木每棵50元， $B$ 花木每棵100元．

（1）若购进 $A$ ， $B$ 两种花木刚好用去8000元，则购买了 $A$ ， $B$ 两种花木各多少棵？

（2）如果购买 $B$ 花木的数量不少于 $A$ 花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ 是上半圆的弦，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $A$ 作切线 $DE$ 的垂线，垂足为 $D$ ，且与 $⊙ O$ 交于点 $F$ ，设 $∠ DAC$ ， $∠ CEA$ 的度数分别是 $α$ ， $β$ ．

（1）用含 $α$ 的代数式表示 $β$ ，并直接写出 $α$ 的取值范围；

（2）连接 $OF$ 与 $AC$ 交于点 $O'$ ，当点 $O'$ 是 $AC$ 的中点时，求 $α$ ， $β$ 的值．

在一个不透明的袋子中有一个黑球 $a$ 和两个白球 $b$ ， $c$ （除颜色外其他均相同）．用树状图（或列表法）解答下列问题：

（1）小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球．则小丽两次都摸到白球的概率是多少？

（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，则小强两次都摸到白球的概率是多少？

已知关于 $x$ 的一元二次方程： $x^{2} - (t - 1) x + t - 2 = 0$ ．

（1）求证：对于任意实数 $t$ ，方程都有实数根；

（2）当 $t$ 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．

我们知道，经过原点的抛物线可以用 $y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 表示，对于这样的抛物线：

（1）当抛物线经过点 $(- 2, 0)$ 和 $(- 1, 3)$ 时，求抛物线的表达式；

（2）当抛物线的顶点在直线 $y = - 2 x$ 上时，求 $b$ 的值；

（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $\dots$ ， $A_{n}$ 在直线 $y = - 2 x$ 上，横坐标依次为 $- 1$ ， $- 2$ ， $- 3$ ， $\dots$ ， $- n (n$ 为正整数，且 $n ⩽ 12)$ ，分别过每个顶点作 $x$ 轴的垂线，垂足记为 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ ， $\dots$ ， $B_{n}$ ，以线段 $A_{n} B_{n}$ 为边向左作正方形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ，如果这组抛物线中的某一条经过点 $D_{n}$ ，求此时满足条件的正方形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ 的边长．

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