如图AE∥BD，∠CBD＝57°，∠AEF＝125°，求∠C-优题课

计算： ${(- 2)}^{- 2} - | \sqrt{3} - 2 | + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{0} - \sqrt[3]{8} - 2 \cos 30 °$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 2)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $AD$ ， $BC$ 交于点 $E$ ，连接 $BD$ ，记 $ΔBDE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔABE$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $AC$ ， $BC$ ，过点 $O$ 作直线 $l / / BC$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $l$ 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $ΔPQB ∽ ΔCAB$ ．若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在矩形 $ABCD$ 的 $CD$ 边上取一点 $E$ ，将 $ΔBCE$ 沿 $BE$ 翻折，使点 $C$ 恰好落在 $AD$ 边上点 $F$ 处．

（1）如图1，若 $BC = 2 BA$ ，求 $∠ CBE$ 的度数；

（2）如图2，当 $AB = 5$ ，且 $AF \cdot FD = 10$ 时，求 $BC$ 的长；

（3）如图3，延长 $EF$ ，与 $∠ ABF$ 的角平分线交于点 $M$ ， $BM$ 交 $AD$ 于点 $N$ ，当 $NF = AN + FD$ 时，求 $\frac{AB}{BC}$ 的值．

在"新冠"疫情期间，全国人民"众志成城，同心抗疫"，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元 $/$ 件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 $y$ （单位：件）与线下售价 $x$ （单位：元 $/$ 件， $12 ⩽ x < 24)$ 满足一次函数的关系，部分数据如下表：

$x$ （元 $/$ 件）	12	13	14	15	16
$y$ （件 $)$	1200	1100	1000	900	800

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当 $x$ 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．

如图，在 $ΔABC$ 的边 $BC$ 上取一点 $O$ ，以 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径画 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与边 $AB$ 相切于点 $D$ ， $AC = AD$ ，连接 $OA$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ，并延长交线段 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 10$ ， $\tan B = \frac{4}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（3）若 $F$ 是 $AB$ 的中点，试探究 $BD + CE$ 与 $AF$ 的数量关系并说明理由．