解方程组：-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 mx + m^{2} + m = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求 $m$ 的值．

如图， $D$ 是 $ΔABC$ 的边 $AB$ 上一点， $CF / / AB$ ， $DF$ 交 $AC$ 于 $E$ 点， $DE = EF$ ．

（1）求证： $ΔADE ≅ ΔCFE$ ；

（2）若 $AB = 5$ ， $CF = 4$ ，求 $BD$ 的长．

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 1$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 3$ 与 $x$ 轴相交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $N (n, 0)$ 是 $x$ 轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若 $n < 3$ ，过点 $N$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $P$ ，交直线 $BC$ 于点 $G$ ．过点 $P$ 作 $PD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，当 $n$ 为何值时， $ΔPDG ≅ ΔBNG$ ；

（3）如图2，将直线 $BC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，它恰好经过线段 $OC$ 的中点，然后将它向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度，得到直线 $O B_{1}$ ．

① $\tan ∠ BO B_{1} =$ 　　；

②当点 $N$ 关于直线 $O B_{1}$ 的对称点 $N_{1}$ 落在抛物线上时，求点 $N$ 的坐标．

红星公司销售一种成本为40元 $/$ 件产品，若月销售单价不高于50元 $/$ 件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为 $x$ （单位：元 $/$ 件），月销售量为 $y$ （单位：万件）．

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$ 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元 $/$ 件，月销售最大利润是78万元，求 $a$ 的值．