如图，在△ABC中，∠BAC4∠ABC4∠C，BD⊥AC，于-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 是边 $AC$ 上一个动点，过点 $O$ 作直线 $EF / / BC$ 分别交 $∠ ACB$ 、外角 $∠ ACD$ 的平分线于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）若 $CE = 8$ ， $CF = 6$ ，求 $OC$ 的长；

（2）连接 $AE$ 、 $AF$ ．问：当点 $O$ 在边 $AC$ 上运动到什么位置时，四边形 $AECF$ 是矩形？并说明理由．

设 $A = \frac{a - 2}{1 + 2 a + a^{2}} \div (a - \frac{3 a}{a + 1})$ ．

（1）化简 $A$ ；

（2）当 $a = 3$ 时，记此时 $A$ 的值为 $f$ （3）；当 $a = 4$ 时，记此时 $A$ 的值为 $f$ （4）； $\dots$

解关于 $x$ 的不等式： $\frac{x - 2}{2} - \frac{7 - x}{4} ⩽ f$ （3） $+ f$ （4） $+ \dots + f (11)$ ，并将解集在数轴上表示出来．

国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于 $1 h$ ．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中 $A$ 组为 $t < 0.5 h$ ， $B$ 组为 $0.5 h ⩽ t < 1 h$ ， $C$ 组为 $1 h ⩽ t < 1.5 h$ ， $D$ 组为 $t ⩾ 1.5 h$ ．

请根据上述信息解答下列问题：

（1）本次调查数据的中位数落在　组内；

（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．

如图1，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C : y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，顶点为 $D (0, 4)$ ， $AB = 4 \sqrt{2}$ ，设点 $F (m, 0)$ 是 $x$ 轴的正半轴上一点，将抛物线 $C$ 绕点 $F$ 旋转 $180 °$ ，得到新的抛物线 $C'$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的函数表达式；

（2）若抛物线 $C'$ 与抛物线 $C$ 在 $y$ 轴的右侧有两个不同的公共点，求 $m$ 的取值范围．

（3）如图2， $P$ 是第一象限内抛物线 $C$ 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 $P$ 在抛物线 $C'$ 上的对应点 $P'$ ，设 $M$ 是 $C$ 上的动点， $N$ 是 $C'$ 上的动点，试探究四边形 $PMP' N$ 能否成为正方形？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

问题背景：如图1，等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，则 $D$ 为 $BC$ 的中点， $∠ BAD = \frac{1}{2} ∠ BAC = 60 °$ ，于是 $\frac{BC}{AB} = \frac{2 BD}{AB} = \sqrt{3}$ ；

迁移应用：如图2， $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 都是等腰三角形， $∠ BAC = ∠ DAE = 120 °$ ， $D$ ， $E$ ， $C$ 三点在同一条直线上，连接 $BD$ ．

①求证： $ΔADB ≅ ΔAEC$ ；

②请直接写出线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 120 °$ ，在 $∠ ABC$ 内作射线 $BM$ ，作点 $C$ 关于 $BM$ 的对称点 $E$ ，连接 $AE$ 并延长交 $BM$ 于点 $F$ ，连接 $CE$ ， $CF$ ．

①证明 $ΔCEF$ 是等边三角形；

②若 $AE = 5$ ， $CE = 2$ ，求 $BF$ 的长．