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题文

如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面分别为中点,
(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使平面?若存在,指出点的位置;若不存在,说明理由.

科目 数学   题型 解答题   难度 较难
知识点: 空间向量的应用 平行线法
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设函数 f ( x ) = ( x - 1 ) e x - k x 2 (其中 k R ).
(Ⅰ) 当 k = 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅱ) 当 k ( 1 2 , 1 ] 时,求函数 f ( x ) [ 0 , k ] 上的最大值 M .

已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ( 0 , c ) ( c > 0 ) 到直线 l : x - y - 2 = 0 的距离为 3 2 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 P A , P B ,其中 A , B 为切点
(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;
(Ⅱ) 当点 P ( x 0 , y 0 ) 为直线上的定点时,求直线 A B 的方程;
(Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 A F · B F 的最小值.

设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .已知 a 1 = 1 , 2 S n n = a n + 1 - 1 3 n 2 - n - 2 3 , n N + .
(Ⅰ) 求 a 2 的值;
(Ⅱ) 求数列 { a n } 的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 1 a 1 + 1 a 2 + . . . + 1 a n < 7 4 .

如图①,在等腰直角三角形 A B C 中, A = 90 ° , B C = 6 , D , E 分别是 A C , A B 上的点, C D = B E = 2 , O B C 的中点.将 A D E 沿 D E 折起,得到如图②所示的四棱锥 A ` - B C D E ,其中 A ` O = 3 .
image.png

(Ⅰ) 证明: A ` O 平面 B C D E
(Ⅱ) 求二面角 A ` - C D - B 的平面角的余弦值.

某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
image.png

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;
(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.

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