已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限-优题课

已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且
（1）求椭圆的方程;
（2）与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.

科目数学题型解答题难度较难

设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n} = \frac{1}{3} (a_{n - 1} + 2 a_{n - 2})$ , $n = (3, . 4, . . .)$ 。数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1, b_{n} (n = 2, 3, . . .)$ 是非零整数，且对任意的正整数 $m$ 和自然数 $k$ ，都有 $- 1 \leq b_{m} + b_{m + 1} + \dots + b_{m + k} \leq 1$ 。
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记 $c_{n} = a n_{n} b_{n} (n = 1, 2, . . .)$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。

设 $b > 0$ ，椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{2 b^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，抛物线方程为 $x^{2} = 8 (y - b)$ ．如图所示，过点 $F (0, b + 2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$ ，已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_{1}$ ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 $A, B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $△ A B P$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求 $x$ 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知 $y$ 245, $z$ 245,求初三年级中女生比男生多的概率.

如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是半径为 $R$ 的圆的内接四边形，其中 $B D$ 是圆的直径， $∠ A B D = 60^{°}, ∠ B D C = 45^{°}, △ A D P ~ △ B A D$ .

（1）求线段 $P D$ 的长；
（2）若 $P C = \sqrt{11} R$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积.

某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为 $x (x \geq 10)$ 层，则每平方米的平均建筑费用为 $560 + 48 x$ （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）

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