如图1，在矩形纸片ABCD中，，其中m≥1，将该矩形沿EF折-优题课

如图1，在矩形纸片ABCD中，，其中m≥1，将该矩形沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP．设，其中0＜n≤1．
（1）如图2，当（即M点与D点重合），时，则；
（2）如图3，当（M为AD的中点），m的值发生变化时，求证：；
（3）如图1，当，n的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质相似多边形的性质

如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AB = 10$ ， $BC = 6$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $AB - BC$ 向终点 $C$ 运动，在 $AB$ 上以每秒5个单位长度的速度运动，在 $BC$ 上以每秒3个单位长度的速度运动，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $CA$ 方向以每秒 $\frac{4}{3}$ 个单位长度的速度运动， $P$ ， $Q$ 两点同时出发，当点 $P$ 停止时，点 $Q$ 也随之停止．设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒．

（1）求线段 $AQ$ 的长；（用含 $t$ 的代数式表示）

（2）连结 $PQ$ ，当 $PQ$ 与 $ΔABC$ 的一边平行时，求 $t$ 的值；

（3）如图②，过点 $P$ 作 $PE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，以 $PE$ ， $EQ$ 为邻边作矩形 $PEQF$ ，点 $D$ 为 $AC$ 的中点，连结 $DF$ ．设矩形 $PEQF$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ．①当点 $Q$ 在线段 $CD$ 上运动时，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；②直接写出 $DF$ 将矩形 $PEQF$ 分成两部分的面积比为 $1 : 2$ 时 $t$ 的值．

【再现】如图①，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点，可以得到： $DE / / BC$ ，且 $DE = \frac{1}{2} BC$ ．（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点，判断四边形 $EFGH$ 的形状，并加以证明．

【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形 $ABCD$ 中，满足什么条件时，四边形 $EFGH$ 是菱形？你添加的条件是：　　．（只添加一个条件）

（2）如图③，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ．若 $AO = OC$ ，四边形 $ABCD$ 面积为5，则阴影部分图形的面积和为　　．

甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为 $y$ （件 $)$ ．甲车间加工的时间为 $x$ （时 $)$ ， $y$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．

（1）甲车间每小时加工服装件数为　　件；这批服装的总件数为　　件．

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．

某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况，将同学们某天的睡眠时长 $t$ （小时）分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E (A : 9 ⩽ t ⩽ 24$ ； $B : 8 ⩽ t < 9$ ； $C : 7 ⩽ t < 8$ ； $D : 6 ⩽ t < 7$ ； $E : 0 ⩽ t < 6)$ 五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取 $n$ 名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）求 $n$ 的值；

（2）根据统计结果，估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $∠ A = 110 °$ ，点 $E$ 是菱形 $ABCD$ 内一点，连结 $CE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $110 °$ ，得到线段 $CF$ ，连结 $BE$ ， $DF$ ，若 $∠ E = 86 °$ ，求 $∠ F$ 的度数．