(1）已知函数fxlnxx1,x∈0,ͩ-优题课

题文

(1）已知函数 $f (x) = \ln x - x + 1, x \in (0, + \infty)$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
(2）设 $a_{1}, b_{1} (k = 1, 2, \dots, n)$ 均为正数，证明：

①若 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} ⩽ b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，则 ${a_{1}}^{b_{1}} {a_{2}}^{b_{2}} \dots {a_{n}}^{b_{n}} ⩽ 1$ ；

②若 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = 1$ ，则 $\frac{1}{n} ⩽ {b_{1}}^{b_{1}} {b_{2}}^{b_{2}} \dots {b_{n}}^{b_{n}} ⩽ {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + \dots + {b_{n}}^{2}$

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一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位辆)，若按A,B,C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,则A类轿车有10辆

	轿车A	轿车B	轿车C
舒适型	100	150	z
标准型	300	450	600

（1）求下表中z的值；
（2）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下：94,86,92,96,87,93,90,82把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个得分数记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件{，且函数没有零点}，求事件发生的概率

在所对的边分别为且.
（1）求；
（2）若,求面积的最大值.

已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）若在区间上单调递增，试求的取值范围；
（3）求证：.

已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为F₁(0,3)，M(x,4)(x＞0)为椭圆C上一点，△MOF₁的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

如图，四棱锥中，底面为直角梯形,∥, ，平面,且，为的中点

（1）证明：面面
（2）求面与面夹角的余弦值．

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