阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成-优题课

阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形.
结合阅读材料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（）

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．等腰梯形

（2）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB="BC," 请直接写出∠ABC的度数.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

如图所示，一次函数 $y = mx + n (m \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限的点 $A (- 2, a)$ 和点 $B (b, - 1)$ ，过 $A$ 点作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $C$ ， $ΔAOC$ 的面积为4．

（1）分别求出 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）结合图象直接写出 $mx + n > \frac{k}{x}$ 中 $x$ 的取值范围；

（3）在 $y$ 轴上取点 $P$ ，使 $PB - PA$ 取得最大值时，求出点 $P$ 的坐标．

为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．

请结合图中的信息，解决下列问题：

（1）此次调查中接受调查的人数为　　人；

（2）请你补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为　　度；

（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．

（1）计算： $4 \sin 60 ° - | \sqrt{3} - 2 | + 2020^{0} - \sqrt{12} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

（2）先化简，再求值： $\frac{1}{a - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 2 a + 1} \div \frac{a - 1}{a + 1}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 2$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且 $OA = 2 OC = 8 OB$ ．点 $P$ 是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若 $PC / / AB$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $AC$ ，求 $ΔPAC$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

如图，点 $M$ ， $N$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ ， $CD$ 上，且 $∠ MAN = 45 °$ ．把 $ΔADN$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $ΔABE$ ．

（1）求证： $ΔAEM ≅ ΔANM$ ．

（2）若 $BM = 3$ ， $DN = 2$ ，求正方形 $ABCD$ 的边长．