如图，在正方形ABCD中，AB5，P是BC边上任意一点，E是-优题课

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长
线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．
（1）求证：∠GCF=∠FCE；
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，把与 $x$ 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 $L_{1} : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2$ 的顶点为 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），交 $y$ 轴于点 $C$ ．抛物线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 是“共根抛物线”，其顶点为 $P$ ．

（1）若抛物线 $L_{2}$ 经过点 $(2, - 12)$ ，求 $L_{2}$ 对应的函数表达式；

（2）当 $BP - CP$ 的值最大时，求点 $P$ 的坐标；

（3）设点 $Q$ 是抛物线 $L_{1}$ 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 $ΔDPQ$ 与 $ΔABC$ 相似，求其“共根抛物线” $L_{2}$ 的顶点 $P$ 的坐标．

筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 $3 m$ 的筒车 $⊙ O$ 按逆时针方向每分钟转 $\frac{5}{6}$ 圈，筒车与水面分别交于点 $A$ 、 $B$ ，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度 $OC$ 长为 $2.2 m$ ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间．

（1）经过多长时间，盛水筒 $P$ 首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒 $P$ 距离水面多高？

（3）若接水槽 $MN$ 所在直线是 $⊙ O$ 的切线，且与直线 $AB$ 交于点 $M$ ， $MO = 8 m$ ．求盛水筒 $P$ 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $MN$ 上．

（参考数据： $\cos 43 ° = \sin 47 ° \approx \frac{11}{15}$ ， $\sin 16 ° = \cos 74 ° \approx \frac{11}{40}$ ， $\sin 22 ° = \cos 68 ° \approx \frac{3}{8})$

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (4, \frac{3}{2})$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴的负半轴上， $AB$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ， $C$ 为线段 $AB$ 的中点．

（1） $m =$ 　　，点 $C$ 的坐标为　　；

（2）若点 $D$ 为线段 $AB$ 上的一个动点，过点 $D$ 作 $DE / / y$ 轴，交反比例函数图象于点 $E$ ，求 $ΔODE$ 面积的最大值．

甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

（1）甲、乙两公司各有多少人？

（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 $A$ 、 $B$ 两种防疫物资， $A$ 种防疫物资每箱15000元， $B$ 种防疫物资每箱12000元．若购买 $B$ 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注 $: A$ 、 $B$ 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ，对角线 $BD$ 的垂直平分线与边 $AD$ 、 $BC$ 分别相交于点 $M$ 、 $N$ ．

（1）求证：四边形 $BNDM$ 是菱形；

（2）若 $BD = 24$ ， $MN = 10$ ，求菱形 $BNDM$ 的周长．