如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过-优题课

如图1， $AB$ 为半圆的直径，点 $O$ 为圆心， $AF$ 为半圆的切线，过半圆上的点 $C$ 作 $CD / / AB$ 交 $AF$ 于点 $D$ ，连接 $BC$ ．

（1）连接 $DO$ ，若 $BC / / OD$ ，求证： $CD$ 是半圆的切线；

（2）如图2，当线段 $CD$ 与半圆交于点 $E$ 时，连接 $AE$ ， $AC$ ，判断 $∠ AED$ 和 $∠ ACD$ 的数量关系，并证明你的结论．

某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：

周一至周五英语听力训练人数统计表

年级	参加英语听力训练人数
年级	周一	周二	周三	周四	周五
七年级	15	20	$a$	30	30
八年级	20	24	26	30	30
合计	35	44	51	60	60

（1）填空： $a =$ 　　；

（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：

年级	平均训练时间的中位数	参加英语听力训练人数的方差
七年级	24	34
八年级		14.4

（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；

（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $0)$ ， $(\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $1)$ ，连接 $AB$ ，以 $AB$ 为边向上作等边三角形 $ABC$ ．

（1）求点 $C$ 的坐标；

（2）求线段 $BC$ 所在直线的解析式．

为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ 依次表示这三首歌曲）．比赛时，将 $A$ ， $B$ ， $C$ 这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　　；

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $A$ 在以 $BC$ 为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中作弦 $EF$ ，使 $EF / / BC$ ；

（2）在图2中以 $BC$ 为边作一个 $45 °$ 的圆周角．