已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与C、-优题课

已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与C、D重合，CP=b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF．

观察计算：
（1）如图1，当a=4，b=1时，四边形ABFD的面积为　_________　
（2）如图2，当a=4，b=2时，四边形ABFD的面积为　_________　；
（3）如图3，当a=4，b=3时，四边形ABFD的面积为　_________　；
探索发现：
（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？证明你的结论；
（5）综合应用：农民赵大伯有一块正方形的土地（如图5），由于修路被占去一块三角形的地方△BCE，但决定在DE的右侧补给赵大伯一块土地，补偿后的土地为四边形ABMD，且四边形ABMD的面积与原来正方形土地的面积相等，M、E、B三点要在一条直线上，请你画图说明，如何确定M点的位置．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆内接四边形的性质

如图①， $P$ 为第一象限内一点，过 $P, O$ 两点的 $⊙ M$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B, ∠ OPA = 45^{\circ}$ .

（1）求证: $PO$ 平分 $∠ APB$ ;

（2）作 $OH ⊥ P A$ 交弦 $PA$ 于点 $H$ .

①若 $AH = 2, OH + PB = 8$ ，求 $BP$ 的长;

②若 $BP = m, OH = n$ ，把 $△ POB$ 沿 $y$ 轴翻折，得到 $△ P^{'} OB$ （如图②），求 $A P^{'}$ 的长.

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线 $BM$ ，点 $P$ 在右半圆上移动（点 $P$ 与点 $A, B$ 不重合），过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ ，垂足为 $C$ .点 $Q$ 在射线 $BM$ 上移动（点 $M$ 在点 $B$ 的右边），且在移动过程中保持 $OQ / / AP$ .

（1）若 $PC, QO$ 的延长线相交于点 $E$ ，判断是否存在点 $P$ ，使得点 $E$ 恰好在 $⊙ O$ 上?若存在，求出 $∠ APC$ 的大小；若不存在，请说明理由；

（2）连接 $AQ$ 交 $PC$ 于点 $F$ ，设 $k = \frac{PF}{PC}$ ，试问: $k$ 的值是否随点 $P$ 的移动而变化?证明你的结论.

如图， $AB$ 是半圆的直径，弦 $CD / / AB$ ，过点 $B$ 的切线交 $AD$ 的延长线于点 $E, EF ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$ .求证: $AC = CF$ .

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是弧 $AB$ 的中点，延长 $AC$ 至 $D$ ，使 $CD = AC$ ，连接 $DB . E$ 是 $OB$ 的中点， $CE$ 的延长线交 $DB$ 的延长线于点 $F, AF$ 交 $⊙ O$ 于点 $H$ ，连接 $BH$ .

（1）求证: $BD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BF = 1$ ，求 $BH$ 的长.

如图所示， $△ ABC$ 中， $AB = AC$ ，过点 $B$ 作 $△ ABC$ 的外接圆的切线交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，求证: $CD = 2 BE$ .

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