如图①，P为第一象限内一点，过P,O两点的⊙M交x轴正半轴于-优题课

如图①， $P$ 为第一象限内一点，过 $P, O$ 两点的 $⊙ M$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B, ∠ OPA = 45^{\circ}$ .

（1）求证: $PO$ 平分 $∠ APB$ ;

（2）作 $OH ⊥ P A$ 交弦 $PA$ 于点 $H$ .

①若 $AH = 2, OH + PB = 8$ ，求 $BP$ 的长;

②若 $BP = m, OH = n$ ，把 $△ POB$ 沿 $y$ 轴翻折，得到 $△ P^{'} OB$ （如图②），求 $A P^{'}$ 的长.

科目数学题型解答题难度中等

如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $y$ 轴相交于点 $A (0, 3)$ ，与 $x$ 正半轴相交于点 $B$ ，对称轴是直线 $x = 1$

（1）求此抛物线的解析式以及点 $B$ 的坐标．

（2）动点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $x$ 轴正方向运动，同时动点 $N$ 从点 $O$ 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，当 $N$ 点到达 $A$ 点时， $M$ 、 $N$ 同时停止运动．过动点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交线段 $AB$ 于点 $Q$ ，交抛物线于点 $P$ ，设运动的时间为 $t$ 秒．

①当 $t$ 为何值时，四边形 $OMPN$ 为矩形．

②当 $t > 0$ 时， $ΔBOQ$ 能否为等腰三角形？若能，求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $CD$ 与直径 $AB$ 相交于点 $F$ ．点 $E$ 在 $⊙ O$ 外，作直线 $AE$ ，且 $∠ EAC = ∠ D$ ．

（1）求证：直线 $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BC = 4$ ， $\cos ∠ BAD = \frac{3}{4}$ ， $CF = \frac{10}{3}$ ，求 $BF$ 的长．

在 $4 \times 4$ 的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个 $4 \times 4$ 的方格内限画一种）

要求：

（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）

（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）

如图，线段 $AB$ 、 $CD$ 分别表示甲、乙两建筑物的高， $BA ⊥ AD$ ， $CD ⊥ DA$ ，垂足分别为 $A$ 、 $D$ ．从 $D$ 点测到 $B$ 点的仰角 $α$ 为 $60 °$ ，从 $C$ 点测得 $B$ 点的仰角 $β$ 为 $30 °$ ，甲建筑物的高 $AB = 30$ 米．

（1）求甲、乙两建筑物之间的距离 $AD$ ．

（2）求乙建筑物的高 $CD$ ．

某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．

（1）设用于购买文化衫和相册的总费用为 $W$ 元，求总费用 $W$ （元 $)$ 与购买的文化衫件数 $t$ （件 $)$ 的函数关系式．

（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．