已知函数
．
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若函数
在
处取得极值，对
,
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）当
时，求证：
．
如图所示，已知
、
、
是长轴长为
的椭圆
上的三点，点是长轴的一个端点，
过椭圆中心
，且
，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存点
，使得
？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；
（3）过椭圆上异于其顶点的任一点
，作圆
的两条线，切点分别为
、
，，若直线
在
轴、
轴上的截距分别为
、
，证明：
为定值.
已知正项数列
满足：
，数列
的前
项和为
，且满足
，
.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设
，数列
的前项和为
，求证：
.
如图，四棱锥
的底面是正方形，侧棱
底面
，过
作
垂直
交于
点，作
垂直
交于
点，平面
交
于
点，且
，
.
（1）设点
是
上任一点，试求
的最小值；
（2）求证：、在以
为直径的圆上；
（3）求平面
与平面所成的锐二面角的余弦值.
图是某市
月
日至
日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（
）小于
表示空气质量优良，空气质量指数大于
表示空气重度污染，某人随机选择月日至月
日中的某一天到达该市，并停留
天.
（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；
（2）设
是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．
已知函数
.
（1）求函数
的定义域和最小正周期；
（2）若
，
，求
的值.