在平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线$y=x$被椭圆$C$截得的线段长为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$.
（Ⅰ）求椭圆$C$的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆$C$交于$A,B$两点（$A,B$不是椭圆$C$的顶点）.点$D$在椭圆$C$上，且$AD\perp AB$，直线$BD$与$x$轴、$y$轴分别交于$M,N$两点.
  （i）设直线$BD,AM$的斜率分别为$k_1,k_2$，证明存在常数$\lambda$使得$k_1=\lambda k_2$，并求出$\lambda$的值；
  （ii）求$∆CMN$面积的最大值.

科目 数学   题型 解答题   难度 较易