在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为-优题课

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M, N$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P, A$ 两点，其中 $P$ 在第一象限．过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ ．连接 $A C$ ，并延长交椭圆于点 $B$ ．设直线 $P A$ 的斜率为 $k$ ．

（Ⅰ）当直线 $P A$ 平分线段 $M N$ 时，求 $k$ 的值；
（Ⅱ）当 $k = 2$ 时，求点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离；
（Ⅲ）对任意 $k > 0$ ，求证： $P A ⊥ P B$ ．

请你设计一个包装盒，如图所示， $A B C D$ 是边长为60 $c m$ 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $A B C D$ 四个点重合于图中的点 $P$ ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， $E, F$ 在 $A B$ 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 $A E = F B = x c m$ .

（1）若广告商要求包装盒侧面积 $S (c m^{2})$ 最大，试问 $x$ 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 $V (c m^{3})$ 最大，试问 $x$ 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $E, F$ 分别是 $A P, A D$ 的中点.
求证：（1）直线 $E F / /$ 平面 $P C D$ ；
（2）平面 $B E F ⊥$ 平面 $P A D$ .

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$

（1）若 $\sin (A + \frac{π}{6}) = 2 \cos A$ ,求 $A$ 的值；
（2）若 $\cos A = \frac{1}{3}, b = 3 c$ ，求 $\sin C$ 的值.

在平面直角坐标系 $x O y$ 上，给定抛物线 $L : y = \frac{1}{4} x^{2}$ ．实数 $p, q$ 满足 $p^{2} - 4 q \geq 0$ , $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 的两根，记 $φ (p, q) = m a x \{|x_{1}|, |x_{2}|\}$

（1）过点 $A (p_{0}, \frac{1}{4} {p_{0}}^{2}) (p_{0} \neq 0)$ 作 $L$ 的切线教 $y$ 轴于点 $B$ ．证明：对线段 $A B$ 上任一点 $Q (p, q)$ 有 $φ (p, q) = \frac{|p_{0}|}{2}$ ;

（2）设 $M (a, b)$ 是定点，其中 $a, b$ 满足 $a^{2} - 4 b > 0$ , $a \neq 0$ .过 $M (a, b)$ 作 $L$ 的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，切点分别为 $E (p_{1,} \frac{1}{4} {p_{1}}^{2})$ ， $E^{`} (p_{2}, \frac{1}{4} {p_{2}}^{2})$ $l_{1}, l_{2}$ 与y轴分别交与 $F, F `$ .线段 $E F$ 上异于两端点的点集记为 $X$ ．证明： $M (a, b) \in X \Leftrightarrow |P_{1}| > |P_{2}| \Leftrightarrow φ (a, b) = \frac{|p_{1}|}{2}$ ;

（3）设 $D = \{(x, y) | y \leq x - 1, y \geq \frac{1}{4} (x + 1)^{2} - \frac{5}{4}\}$ ．当点 $(p, q)$ 取遍 $D$ 时，求 $φ (p, q)$ 的最小值（记为 $φ_{m i n}$ ）和最大值（记为 $φ_{m a x}$ ）．