如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别-优题课

设函数 $f (x) = (\sin ω x + \cos ω x)^{2} + 2 \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ．
（Ⅰ）求 $ω$ 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数 $y = g (x)$ 的图像是由 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到，求 $y = g (x)$ 的单调增区间．

等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 2, a_{4} = 16$ .
（I）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $a_{3}, a_{5}$ 分别为等差数列 ${b_{n}}$ 的第3项和第5项，试求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

两县城 $A$ 和 $B$ 相聚20km，现计划在两县城外以 $A B$ 为直径的半圆弧 $\overset{⏜}{A B}$ 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为城 $A$ 与城 $B$ 的影响度之和，记 $C$ 点到城 $A$ 的距离为 $x$ $k m$ ，建在 $C$ 处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为 $y$ ,统计调查表明：垃圾处理厂对城 $A$ 的影响度与所选地点到城 $A$ 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城 $B$ 的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为 $k$ ,当垃圾处理厂建在 $\overset{⏜}{A B}$ 的中点时，对称 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为0.0065.

（Ⅰ）将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧 $\overset{⏜}{A B}$ 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由。

如图，已知抛物线 $E : y^{2} = x$ 与圆 $M : (x - 4)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于 $A, B, C, D$ 四个点.
（Ⅰ）求 $r$ 的取值范围
（Ⅱ）当四边形 $A B C D$ 的面积最大时，求对角线 $A C, B D$ 的交点 $P$ 的坐标.

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面
$A B C, P A = A B, ∠ A B C = 60^{°}, ∠ B C A = 90^{°}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $P B, P C$ 上，且 $D E ∥ B C$ .

（Ⅰ）求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

（Ⅱ）当 $D$ 为 $P B$ 的中点时，求 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点 $E$ 使得二面角 $A - D E - P$ 为直二面角？并说明理由.