(1)化简；(2)已知且，求的值.-优题课

(1)化简；
(2)已知且，求的值.

科目数学题型解答题难度中等

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $B$ 与点 $A (- 1, 1)$ 关于原点 $O$ 对称， $P$ 是动点，且直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{3}$ .
(Ⅰ)求动点 $P$ 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线 $A P$ 和 $B P$ 分别与直线 $x = 3$ 交于点 $M, N$ ，问：是否存在点 $P$ 使得 $△ P A B$ 与 $△ P M N$ 的面积相等？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x + \frac{x}{2} x^{2} (k ⩾ 0)$ .
(Ⅰ)当 $k = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
(Ⅱ)求 $f (x)$ 的单调区间.

如图，正方形 $A B C D$ 和四边形 $A C E F$ 所在的平面互相垂直， $C E ⊥ A C, E F ∥ A C, A B = \sqrt{2}, C E = E F = 1$

（Ⅰ）求证： $A F ∥$ 平面 $B D E$ ；
（Ⅱ）求证： $C F ⊥$ 平面BDE；
（Ⅲ）求二面角 $A - B E - D$ 的大小.

已知函数 $f (x) = 2 \cos 2 x + \sin^{2} x - 4 \cos x$ .
（Ⅰ）求 $f = (\frac{π}{3})$ 的值；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的最大值和最小值。

某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\frac{4}{5}$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p . q (p > q)$ ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记 $ξ$ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求 $p, q$ 的值；
(Ⅲ)求数学期望 $E ξ$ 。

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