某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另外在立-优题课

某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另外在立定跳远和实心球中选一项，在坐位体前屈和1分钟跳绳中选一项．
（1）每位考生有__________种选择方案；
（2）若用……等字母分别表示上述各种方案，请用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同一种方案的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

"学而时习之，不亦说乎？"古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一 $)$ 班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：

1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4

九年级（一 $)$ 班女生一周复习时间频数分布表

复习时间	频数（学生人数）
1小时	3
2小时	$a$
3小时	4
4小时	6

（1）统计表中 $a =$ 　　，该班女生一周复习时间的中位数为　　小时；

（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为　　 $°$ ；

（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？

（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中 $B$ 和 $D$ 的概率．

（1）解不等式组 $\{\begin{matrix} 3 (x - 1) < 5 x + 2 ① \\ \frac{x - 2}{2} ⩽ 7 - \frac{3}{2} x② \end{matrix}$ ，并求出该不等式组的最小整数解．

（2）先化简，再求值： $(\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1}{1 - a}) \div \frac{2}{a^{2} - a}$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} + 2 a - 15 = 0$ ．

如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $P$ 为对角线 $AC$ 所在直线上的一个动点，连接 $PD$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ PD$ ，交直线 $AB$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $MN ⊥ AB$ ，交直线 $CD$ 于点 $M$ ，交直线 $AB$ 于点 $N$ ． $AB = 4 \sqrt{3}$ ， $AD = 4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $AC$ 上时， $∠ PDM$ 和 $∠ EPN$ 的数量关系为： $∠ PDM$ $∠ EPN$ ；

② $\frac{DP}{PE}$ 的值是　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $CA$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $PD$ ， $PE$ 为邻边作矩形 $PEFD$ ．设 $PM$ 的长为 $x$ ，矩形 $PEFD$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式　　；

（2）平移直线 $BC$ ，当直线 $BC$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $QE / / y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $ΔBOC$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

阅读理解：

材料一：若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成"和谐三数组"．

材料二：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

问题解决：

（1）请你写出三个能构成"和谐三数组"的实数　　；

（2）若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a$ ， $b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的两根， $x_{3}$ 是关于 $x$ 的方程 $bx + c = 0 (b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的解．求证： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 可以构成"和谐三数组"；

（3）若 $A (m, y_{1})$ ， $B (m + 1, y_{2})$ ， $C (m + 3, y_{3})$ 三个点均在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成"和谐三数组"，求实数 $m$ 的值．