设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：
．
（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
在平面直角坐标系中，矩阵
对应的变换将平面上任意一点
变换为点
．
（1）求矩阵的逆矩阵
；
（2）求曲线
在矩阵的变换作用后得到的曲线
的方程．
（本小题满分14分）已知函数
在点
处的切线斜率为
．
（1）求实数
的值；
（2）设
，若
对
恒成立，求
的取值范围；
（3）已知数列
满足
，
，
求证：当
时 
（
为自然对数的底数，
）．
（本小题满分13分）已知点
，直线
，直线
于
，连结
，作线段的垂直平分线交直线
于点
．设点的轨迹为曲线
．
（1）求曲线的方程;
（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为
，
①求证：直线
过定点;
②若
，过点作动直线
交曲线于点
，直线交于点
，试探究
是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．
（本小题满分13分）如图，在四棱柱
中，底面
是矩形，且
，
，
．若
为
的中点，且
．
（1）求证：
平面；
（2）线段
上是否存在一点
，使得二面角
为
？若存在，求出
的长；不存在，说明理由．
（本小题满分13分）某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．
（1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为
，乙队猜对前两条的概率均为
，猜对第3条的概率为
．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？