如图1，直角△ABC中，∠ABC90°，AB是⊙O的直径，⊙-优题课

如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；
（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan∠C=2，求的值．

图1 图2

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆幂定理

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ CAB = 30 °$ ，以线段 $AB$ 为边向外作等边 $ΔABD$ ，点 $E$ 是线段 $AB$ 的中点，连接 $CE$ 并延长交线段 $AD$ 于点 $F$ ．

（1）求证：四边形 $BCFD$ 为平行四边形；

（2）若 $AB = 6$ ，求平行四边形 $BCFD$ 的面积．

永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．

（1）参观的学生总人数为　　人；

（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为　　；

（3）补全条形统计图；

（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为　　．

如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - n (n > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $(A$ 点在 $B$ 点的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）如图1，若 $ΔABC$ 为直角三角形，求 $n$ 的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点 $P$ 在抛物线上，点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，若以 $BC$ 为边，以点 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$ 点的坐标；

（3）如图2，过点 $A$ 作直线 $BC$ 的平行线交抛物线于另一点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，若 $AE : ED = 1 : 4$ ，求 $n$ 的值．

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AD$ 的中点，以点 $E$ 为直角顶点的直角三角形 $EFG$ 的两边 $EF$ ， $EG$ 分别过点 $B$ ， $C$ ， $∠ F = 30 °$ ．

（1）求证： $BE = CE$ ；

（2）将 $ΔEFG$ 绕点 $E$ 按顺时针方向旋转，当旋转到 $EF$ 与 $AD$ 重合时停止转动，若 $EF$ ， $EG$ 分别与 $AB$ ， $BC$ 相交于点 $M$ ， $N$ （如图 $2)$ ．

①求证： $ΔBEM ≅ ΔCEN$ ；

②若 $AB = 2$ ，求 $ΔBMN$ 面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$ 恰好在 $FG$ 上（如图 $3)$ ，求 $\sin ∠ EBG$ 的值．

益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将 $A$ ， $B$ 两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输 $A$ ， $B$ 产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元． $A$ ， $B$ 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元 $/$ 件）如下表所示：

品种	$A$	$B$
原运费	45	25
现运费	30	20

（1）求每次运输的农产品中 $A$ ， $B$ 产品各有多少件？

（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中 $B$ 产品的件数不得超过 $A$ 产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？