已知：如图，E是AC上一点，ABCE，AB∥CD，∠ACB∠-优题课

如图，在圆 $O$ 中，弦 $AB$ 等于弦 $CD$ ，且相交于点 $P$ ，其中 $E$ 、 $F$ 为 $AB$ 、 $CD$ 中点．

（1）证明： $OP ⊥ EF$ ；

（2）连接 $AF$ 、 $AC$ 、 $CE$ ，若 $AF / / OP$ ，证明：四边形 $AFEC$ 为矩形．

现在 $5 G$ 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部 $5 G$ 手机，三个月生产情况如图．

（1）求三月份生产了多少部手机？

（2） $5 G$ 手机速度很快，比 $4 G$ 下载速度每秒多 $95 MB$ ，下载一部 $1000 MB$ 的电影， $5 G$ 比 $4 G$ 要快190秒，求 $5 G$ 手机的下载速度．

如图，已知 $ΔABD$ 中， $AC ⊥ BD$ ， $BC = 8$ ， $CD = 4$ ， $\cos ∠ ABC = \frac{4}{5}$ ， $BF$ 为 $AD$ 边上的中线．

（1）求 $AC$ 的长；

（2）求 $\tan ∠ FBD$ 的值．

计算： $9^{\frac{1}{2}} + | 1 - \sqrt{2} | - 2^{- 1} \times \sqrt{8}$ ．

问题提出

（1）如图1，在 $▱ ABCD$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $AB = 8$ ， $AD = 6$ ， $E$ 是 $AD$ 的中点，点 $F$ 在 $DC$ 上，且 $DF = 5$ ，求四边形 $ABFE$ 的面积．（结果保留根号）

问题解决

（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园 $ABCDE$ ．按设计要求，要在五边形河畔公园 $ABCDE$ 内挖一个四边形人工湖 $OPMN$ ，使点 $O$ 、 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别在边 $BC$ 、 $CD$ 、 $AE$ 、 $AB$ 上，且满足 $BO = 2 AN = 2 CP$ ， $AM = OC$ ．已知五边形 $ABCDE$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $AB = 800 m$ ， $BC = 1200 m$ ， $CD = 600 m$ ， $AE = 900 m$ ．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 $OPMN$ ？若存在，求四边形 $OPMN$ 面积的最小值及这时点 $N$ 到点 $A$ 的距离；若不存在，请说明理由．