已知函数
．
（1）求
的最小正周期；
（2）设
，且
，求
．
【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，以
的边
为直径作圆,分别交
于
，过点
作
交于
，且
设
交于点
，求证：
（本小题满分16分）已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；
（Ⅱ）求证：当
时，
对任意的
都成立．
数列
满足：
．
（Ⅰ）求证：数列
一定不是等比数列；
（Ⅱ）若
，求
最小值．
（本小题满分16分）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率
，直线
过椭圆的右焦点
，且交椭圆于
，
两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作垂直于
轴的直线
，设直线与定直线
交于点
，试探索当
变化时，直线
是否过定点？
（本小题满分14分）某汽车厂有一条价值为
万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值
万元与技术改造投入的
万元之间满足：①与
和
的乘积成正比；②
，其中
是正常数．若
时，
．
（Ⅰ）求产品增加值关于的表达式；
（Ⅱ）求产品增加值的最大值及相应的的值．