如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），
．以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求
所在直线的方程及新桥BC的长；
（Ⅱ）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
并求此时圆的方程.
（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
（Ⅰ）证明： 
⊥平面
；
（Ⅱ）求平面
与平面所成角的余弦值；
（本小题满分12分）已知函数
．
（Ⅰ）设函数
的图像的顶点的纵坐标构成数列
，求证：为等差数列；
（Ⅱ）设函数的图像的顶点到
轴的距离构成数列
，求的前
项和
．
（本小题满分12分）已知函数
的图象的一部分如下图所示. （Ⅰ）求函数
的解析式；（Ⅱ）当
时,求函数
的最大值与最小值及相应的
的值.
．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
求证：对于任意的正整数
，
必可表示成
的形式，其中
.
．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
由数字1，2，3，4组成五位数
，从中任取一个．
（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数
，至少存在另一个正整数
，且
，使得
”的概率；
（2）记
为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望．