某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计-优题课

题文

某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（1）从每班抽取的学生中各随机抽取一人，求至少有一人及格的概率
（2）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．

科目数学题型解答题难度中等

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已知中，，，，记，

（1）求关于的表达式；
（2）求的值域；

如图，我市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道。赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定。

（1）求的值和两点间的距离
（2）应如何设计，才能使折线段赛道最长

在中，为锐角，角所对应的边分别为，且
（I）求的值；（II）若，求的值。

已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x_{1}$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）记 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ （ $n \in N^{*}$ ）上的最小值为 $b_{x}$ 令 $a_{n} = \ln (1 + n) - b_{x}$ .
（ⅰ）如果对一切 $n$ ，不等式 $\sqrt{a_{n}} < \sqrt{a_{n - 2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n + 2}}}$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $\frac{a_{1}}{a_{3}} + \frac{a_{1} a_{3}}{a_{2} a_{4}} + . . . + \frac{a_{1} a_{3} . . . a_{2 n - 1}}{a_{2} a_{4} . . . a_{2 n}} < \sqrt{2 a_{n} + 1} - 1$ .

如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点是 $F (1, 0)$ ， $O$ 为坐标原点。
　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，值有 $| O A |^{2} + | O B |^{2} < | A B |^{2}$ ，求 $a$ 的取值范围。

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