如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．-优题课

如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．

科目数学题型解答题难度中等

设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + k (k > 0)$ 在 $x = 0$ 处取得极值，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线垂直于直线 $x + 2 y + 1 = 0$ .
（1）求 $a, b$ 的值；

（2）若函数 $g (x) = \frac{e^{x}}{f (x)}$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性。

设函数 $f (x) = x^{2} + a \ln (1 + x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$

（I）求 $a$ 的取值范围，并讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）证明： $f (x_{2}) > \frac{1 - 2 \ln 2}{4}$ .

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记 $ξ$ 表示抽取的3名工人中男工人数，求 $ξ$ $= \frac{{C_{6}}^{1} {C_{4}}^{1}}{{C_{10}}^{2}} = \frac{8}{15}$ 的分布列及数学期望.

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 已知 $a_{1} = 1$ , $S_{n + 1} = 4 a_{n} + 2$

（I）设 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ，证明数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列.
（II）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \sin (ω x + \frac{π}{2}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .
（1）求 $ω$ 的值；

（2）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{2}{3} π]$ 上的取值范围．

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