如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点A（1-优题课

如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点A（1，）

（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图像的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行线分线段成比例一次函数的最值

如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在抛物线 $y = a x^{2} - 2 amx + a m^{2} + 2 m - 5$ （其中 $- \frac{1}{4} < a < 0)$ 上， $AB / / x$ 轴， $∠ ABC = 135 °$ ，且 $AB = 4$ ．

（1）填空：抛物线的顶点坐标为　　（用含 $m$ 的代数式表示）；

（2）求 $ΔABC$ 的面积（用含 $a$ 的代数式表示）；

（3）若 $ΔABC$ 的面积为 2 ，当 $2 m - 5 ⩽ x ⩽ 2 m - 2$ 时， $y$ 的最大值为 2 ，求 $m$ 的值．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上，且 $∠ BAC = 2 ∠ DCB$ ，求证： $AC = AD$ ．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作 $AE$ 平分 $∠ CAB$ ，与 $CD$ 相交于点 $E$ ．

方法2：如图3，作 $∠ DCF = ∠ DCB$ ，与 $AB$ 相交于点 $F$ ．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 $AC = AD$ ．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4， $ΔABC$ 中，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $BC$ 上，且 $∠ BDE = 2 ∠ ABC$ ，点 $F$ 在 $BD$ 上，且 $∠ AFE = ∠ BAC$ ，延长 $DC$ 、 $FE$ ，相交于点 $G$ ，且 $∠ DGF = ∠ BDE$ ．

①在图中找出与 $∠ DEF$ 相等的角，并加以证明；

②若 $AB = kDF$ ，猜想线段 $DE$ 与 $DB$ 的数量关系，并证明你的猜想．

如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAD = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $∠ DEC = ∠ BAC$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC / / DE$ ，当 $AB = 8$ ， $CE = 2$ 时，求 $AC$ 的长．

【观察】 $1 \times 49 = 49$ ， $2 \times 48 = 96$ ， $3 \times 47 = 141$ ， $\dots$ ， $23 \times 27 = 621$ ， $24 \times 26 = 624$ ， $25 \times 25 = 625$ ， $26 \times 24 = 624$ ， $27 \times 23 = 621$ ， $\dots$ ， $47 \times 3 = 141$ ， $48 \times 2 = 96$ ， $49 \times 1 = 49$ ．

【发现】根据你的阅读回答问题：

（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为　　；

（2）设参与上述运算的第一个因数为 $a$ ，第二个因数为 $b$ ，用等式表示 $a$ 与 $b$ 的数量关系是　　．

【类比】观察下列两数的积： $1 \times 59$ ， $2 \times 58$ ， $3 \times 57$ ， $4 \times 56$ ， $\dots$ ， $m \times n$ ， $\dots$ ， $56 \times 4$ ， $57 \times 3$ ， $58 \times 2$ ， $59 \times 1$ ．

猜想 $mn$ 的最大值为　　，并用你学过的知识加以证明．

甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．