（1）如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于点F-优题课

（1）如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于点F，过点F作DF∥BC。求证：BD=DF;
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于点F，过点F作DE∥BC,交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD、CE、DE之间存在什么关系？请证明这种关系；
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于点F，过点F作DE∥BC,交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD、CE、DE之间存在什么关系？请写出你的猜想（不需证明）。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形 $ABCD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α ⩽ 90 °)$ ，得到矩形 $AB' C' D'$ ，连结 $BD$ ．

$[$ 探究 $1]$ 如图1，当 $α = 90 °$ 时，点 $C'$ 恰好在 $DB$ 延长线上．若 $AB = 1$ ，求 $BC$ 的长．

$[$ 探究 $2]$ 如图2，连结 $AC'$ ，过点 $D'$ 作 $D' M / / AC'$ 交 $BD$ 于点 $M$ ．线段 $D' M$ 与 $DM$ 相等吗？请说明理由．

$[$ 探究 $3]$ 在探究2的条件下，射线 $DB$ 分别交 $AD'$ ， $AC'$ 于点 $P$ ， $N$ （如图 $3)$ ，发现线段 $DN$ ， $MN$ ， $PN$ 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

已知二次函数 $y = - x^{2} + 6 x - 5$ ．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当 $1 ⩽ x ⩽ 4$ 时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当 $t ⩽ x ⩽ t + 3$ 时，函数的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，若 $m - n = 3$ ，求 $t$ 的值．

一酒精消毒瓶如图1， $AB$ 为喷嘴， $ΔBCD$ 为按压柄， $CE$ 为伸缩连杆， $BE$ 和 $EF$ 为导管，其示意图如图2， $∠ DBE = ∠ BEF = 108 °$ ， $BD = 6 cm$ ， $BE = 4 cm$ ．当按压柄 $ΔBCD$ 按压到底时， $BD$ 转动到 $BD'$ ，此时 $BD' / / EF$ （如图 $3)$ ．

（1）求点 $D$ 转动到点 $D'$ 的路径长；

（2）求点 $D$ 到直线 $EF$ 的距离（结果精确到 $0.1 cm)$ ．

（参考数据： $\sin 36 ° \approx 0.59$ ， $\cos 36 ° \approx 0.81$ ， $\tan 36 ° \approx 0.73$ ， $\sin 72 ° \approx 0.95$ ， $\cos 72 ° \approx 0.31$ ， $\tan 72 ° \approx 3.08)$

某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整） $:$

青少年视力健康标准

类别	视力	健康状况
$A$	视力 $⩾ 5.0$	视力正常
$B$	4.9	轻度视力不良
$C$	$4.6 ⩽$ 视力 $⩽ 4.8$	中度视力不良
$D$	视力 $⩽ 4.5$	重度视力不良

根据以上信息，请解答：

（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别 $B)$ 的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别 $A)$ 的人数．

（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？

（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在 $69 %$ 以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．

根据数学家凯勒的"百米赛跑数学模型"，前30米称为"加速期"，30米 $~ 80$ 米为"中途期"，80米 $~ 100$ 米为"冲刺期"．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度 $y (m / s)$ 与路程 $x (m)$ 之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．

（1） $y$ 是关于 $x$ 的函数吗？为什么？

（2）"加速期"结束时，小斌的速度为多少？

（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．