某商场将某种商品的售价从原来的每件40元，经两次调价后调至每-优题课

某商场将某种商品的售价从原来的每件40元，经两次调价后调至每件32.4元：（1）若该商场两次降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多售出10件，若该商品原来每月可售500件，那么两次调价后，每月可售出该商品多少件？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点 $P$ ， $Q$ 分别在菱形 $ABCD$ 的边 $BC$ ， $CD$ 上， $∠ PAQ = ∠ B$ ，求证： $AP = AQ$ ．

（1）小敏进行探索，若将点 $P$ ， $Q$ 的位置特殊化；把 $∠ PAQ$ 绕点 $A$ 旋转得到 $∠ EAF$ ，使 $AE ⊥ BC$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $BC$ ， $CD$ 上，如图2．此时她证明了 $AE = AF$ ，请你证明．

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 $AE ⊥ BC$ ， $AF ⊥ CD$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件： $AB = 4$ ， $∠ B = 60 °$ ，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ A = 110 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．（答案： $35 °)$

例2 等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ B$ 的度数，（答案： $40 °$ 或 $70 °$ 或 $100 °)$

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ A = 80 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现， $∠ A$ 的度数不同，得到 $∠ B$ 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 $ABC$ 中，设 $∠ A = x °$ ，当 $∠ B$ 有三个不同的度数时，请你探索 $x$ 的取值范围．

如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 $MN$ 安装在窗框上，托悬臂 $DE$ 安装在窗扇上，交点 $A$ 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点 $B$ ， $C$ ， $D$ 始终在一直线上，延长 $DE$ 交 $MN$ 于点 $F$ ．已知 $AC = DE = 20 cm$ ， $AE = CD = 10 cm$ ， $BD = 40 cm$ ．

（1）窗扇完全打开，张角 $∠ CAB = 85 °$ ，求此时窗扇与窗框的夹角 $∠ DFB$ 的度数；

（2）窗扇部分打开，张角 $∠ CAB = 60 °$ ，求此时点 $A$ ， $B$ 之间的距离（精确到 $0.1 cm)$ ．

（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449)$

学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图 $1)$ ，顺次输入点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．

（1） $P_{1} (4, 0)$ ， $P_{2} (0, 0)$ ， $P_{3} (6, 6)$ ；

（2） $P_{1} (0, 0)$ ， $P_{2} (4, 0)$ ， $P_{3} (6, 6)$ ．

一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升 $/$ 千米，如图是油箱剩余油量 $y$ （升 $)$ 关于加满油后已行驶的路程 $x$ （千米）的函数图象．

（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．