在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示为（2，y）（1-优题课

在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示为（-2，y）（-1≤y≤2），边AD可表示为（x，2）（-2≤x≤4）。求：
（1）长方形各顶点的坐标；
（2）长方形ABCD的周长.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：坐标与图形变化-旋转

化简： ${(a + b)}^{2} - b (2 a + b)$ ．

计算： ${(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \times 8$ ．

如图，已知锐角三角形 $ABC$ 内接于圆 $O$ ， $OD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，连接 $OA$ ．

（1）若 $∠ BAC = 60 °$ ，

①求证： $OD = \frac{1}{2} OA$ ．

②当 $OA = 1$ 时，求 $ΔABC$ 面积的最大值．

（2）点 $E$ 在线段 $OA$ 上， $OE = OD$ ，连接 $DE$ ，设 $∠ ABC = m ∠ OED$ ， $∠ ACB = n ∠ OED (m$ ， $n$ 是正数），若 $∠ ABC < ∠ ACB$ ，求证： $m - n + 2 = 0$ ．

设二次函数 $y = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x_{1}$ ， $x_{2}$ 是实数）．

（1）甲求得当 $x = 0$ 时， $y = 0$ ；当 $x = 1$ 时， $y = 0$ ；乙求得当 $x = \frac{1}{2}$ 时， $y = - \frac{1}{2}$ ．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过 $(0, m)$ 和 $(1, n)$ 两点 $(m$ ， $n$ 是实数），当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时，求证： $0 < mn < \frac{1}{16}$ ．

如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，正方形 $CEFG$ 的面积为 $S_{1}$ ，点 $E$ 在 $DC$ 边上，点 $G$ 在 $BC$ 的延长线上，设以线段 $AD$ 和 $DE$ 为邻边的矩形的面积为 $S_{2}$ ，且 $S_{1} = S_{2}$ ．

（1）求线段 $CE$ 的长；

（2）若点 $H$ 为 $BC$ 边的中点，连接 $HD$ ，求证： $HD = HG$ ．