已知在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝3．（1）如图，点M-优题课

已知在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝3．
（1）如图，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；

（2）如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．

①请你在所给的网格中画出格点△A₁B₁C₁与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）；
②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，一艘船由 $A$ 港沿北偏东 $60 °$ 方向航行 $10 km$ 至 $B$ 港，然后再沿北偏西 $30 °$ 方向航行 $10 km$ 至 $C$ 港．

（1）求 $A$ ， $C$ 两港之间的距离（结果保留到 $0.1 km$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$ ；

（2）确定 $C$ 港在 $A$ 港的什么方向．

某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？

已知直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + mx - 2$ 经过点 $A$ ，和 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $D$ 是抛物线上的动点，且在第三象限，求 $ΔABD$ 面积的最大值；

（3）如图2，经过点 $M (- 4, 1)$ 的直线交抛物线于点 $P$ 、 $Q$ ，连接 $CP$ 、 $CQ$ 分别交 $y$ 轴于点 $E$ 、 $F$ ，求 $OE \cdot OF$ 的值．

备注：抛物线顶点坐标公式 $(- \frac{b}{2 a}$ ， $\frac{4 ac - b^{2}}{4 a})$

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 5$ ， $CD = 4$ ，点 $E$ 是 $BC$ 边上的点， $BE = 3$ ，连接 $AE$ ， $DF ⊥ AE$ 交于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔDFA$ ；

（2）连接 $CF$ ，求 $\sin ∠ DCF$ 的值；

（3）连接 $AC$ 交 $DF$ 于点 $G$ ，求 $\frac{AG}{GC}$ 的值．

端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时 $m$ 千米的速度匀速行驶，途中休息了一段时间后，仍按照每小时 $m$ 千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程 $y_{甲} (km)$ ， $y_{乙} (km)$ 与时间 $x (h)$ 之间的函数关系的图象．请根据图象提供的信息，解决下列问题：

（1）图中 $E$ 点的坐标是　，题中 $m =$ 　　 $km / h$ ，甲在途中休息　　 $h$ ；

（2）求线段 $CD$ 的解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距 $20 km$ ？

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