如图1，在Rt△ABC中，∠C90°，AC6cm，BC8cm-优题课

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是BC上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5 s后,点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时△BPQ的面积S（ cm²）与点P的运动时间t（s）的函数图象．

（1）CD = , ；
（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？
（3）运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD / / x$ 轴，交抛物线于点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线 $y = m (- 3 < m < 0)$ 与线段 $AD$ 、 $BD$ 分别交于 $G$ 、 $H$ 两点，过 $G$ 点作 $EG ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，过点 $H$ 作 $HF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，求矩形 $GEFH$ 的最大面积；

（3）若直线 $y = kx + 1$ 将四边形 $ABCD$ 分成左、右两个部分，面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，且 $S_{1} : S_{2} = 4 : 5$ ，求 $k$ 的值．

对于三个数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，用 $M {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数的中位数，用 $\max {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数中最大数，例如： $M {- 2$ ， $- 1$ ， $0} = - 1$ ， $\max {- 2$ ， $- 1$ ， $0} = 0$ ， $\max {- 2$ ， $- 1$ ， $a} = \{\begin{matrix} a (a ⩾ - 1) \\ - 1 (a < - 1) \end{matrix}$

解决问题：

（1）填空： $M {\sin 45 °$ ， $\cos 60 °$ ， $\tan 60 °} =$ 　　，如果 $\max {3$ ， $5 - 3 x$ ， $2 x - 6} = 3$ ，则 $x$ 的取值范围为　　；

（2）如果 $2 \cdot M {2$ ， $x + 2$ ， $x + 4} = \max {2$ ， $x + 2$ ， $x + 4}$ ，求 $x$ 的值；

（3）如果 $M {9$ ， $x^{2}$ ， $3 x - 2} = \max {9$ ， $x^{2}$ ， $3 x - 2}$ ，求 $x$ 的值．

如图，以 $Rt Δ ABC$ 的直角边 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ 交斜边 $AC$ 于点 $D$ ，过圆心 $O$ 作 $OE / / AC$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系并说明理由；

（2）求证： $2 D E^{2} = CD \cdot OE$ ；

（3）若 $\tan C = \frac{4}{3}$ ， $DE = \frac{5}{2}$ ，求 $AD$ 的长．

某商场计划购进 $A$ ， $B$ 两种型号的手机，已知每部 $A$ 型号手机的进价比每部 $B$ 型号手机进价多500元，每部 $A$ 型号手机的售价是2500元，每部 $B$ 型号手机的售价是2100元．商场用50000元共购进 $A$ 型号手机10部， $B$ 型号手机20部．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种型号的手机每部进价各是多少元？

（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购 $A$ 、 $B$ 两种型号的手机共40部，且 $A$ 型号手机的数量不少于 $B$ 型号手机数量的2倍．

①该商场有哪几种进货方式？

②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？

如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 $AC$ 的高为11米，灯杆 $AB$ 与灯柱 $AC$ 的夹角 $∠ A = 120 °$ ，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 $DE$ 长为18米，从 $D$ ， $E$ 两处测得路灯 $B$ 的仰角分别为 $α$ 和 $β$ ，且 $\tan α = 6$ ， $\tan β = \frac{3}{4}$ ，求灯杆 $AB$ 的长度．