如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆A-优题课

如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 $AC$ 的高为11米，灯杆 $AB$ 与灯柱 $AC$ 的夹角 $∠ A = 120 °$ ，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 $DE$ 长为18米，从 $D$ ， $E$ 两处测得路灯 $B$ 的仰角分别为 $α$ 和 $β$ ，且 $\tan α = 6$ ， $\tan β = \frac{3}{4}$ ，求灯杆 $AB$ 的长度．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 $D$ 处观测乙居民楼楼底 $B$ 处的俯角是 $30 °$ ，观测乙居民楼楼顶 $C$ 处的仰角为 $15 °$ ，已知甲居民楼的高为 $10 m$ ，求乙居民楼的高．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到 $0.1 m)$

九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：

	平均数	中位数	众数	方差
甲	175	$a$	$b$	93.75
乙	175	175	180，175，170	$c$

（1）求 $a$ 、 $b$ 的值；

（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；

（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．

如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ，且 $DE / / AC$ ， $AE / / BD$ ，连接 $OE$ ．求证： $OE ⊥ AD$ ．

先化简，再求值： $1 - \frac{a - 2}{a + 4} \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 8 a + 16}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 2$ ．

如图，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，点 $P$ 为线段 $AB$ 的中点，点 $Q$ 是线段 $OA$ 上一动点（不与点 $O$ 、 $A$ 重合）．

（1）请直接写出点 $A$ 、点 $B$ 、点 $P$ 的坐标；

（2）连接 $PQ$ ，在第一象限内将 $ΔOPQ$ 沿 $PQ$ 翻折得到 $ΔEPQ$ ，点 $O$ 的对应点为点 $E$ ．若 $∠ OQE = 90 °$ ，求线段 $AQ$ 的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + a^{3} + a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为点 $C$ ．

①若点 $C$ 在 $ΔPQE$ 内部（不包括边），求 $a$ 的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$ ，使 $| CQ - CE |$ 最大？若存在，请直接写出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．