已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如-优题课

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $AD = 2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $AB = CD)$ ，将左边的门 $AB B_{1} A_{1}$ 绕门轴 $A A_{1}$ 向里面旋转 $35 °$ ，将右边的门 $CD D_{1} C_{1}$ 绕门轴 $D D_{1}$ 向外面旋转 $45 °$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4)$

如图，在 $ΔABC$ 中， $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $MN ⊥ AC$ 于点 $M$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $BG ⊥ MN$ 于 $G$ ．

（1）求证： $ΔBGD ∽ ΔDMA$ ；

（2）求证：直线 $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线．

如图， $DB$ 是 $▱ ABCD$ 的对角线．

（1）尺规作图（请用 $2 B$ 铅笔）：作线段 $BD$ 的垂直平分线 $EF$ ，交 $AB$ ， $DB$ ， $DC$ 分别于 $E$ ， $O$ ， $F$ ，连接 $DE$ ， $BF$ （保留作图痕迹，不写作法）．

（2）试判断四边形 $DEBF$ 的形状并说明理由．

先化简，再求值： $(a - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a}$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 经过坐标原点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，点 $M (m, n)$ 是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $n = 3 m$ 时，

①求点 $M$ 的坐标；

②若点 $B (\frac{15}{4}$ ， $y)$ 在该抛物线上，连接 $OM$ ， $BM$ ， $C$ 是线段 $BM$ 上一动点（点 $C$ 与点 $M$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作 $CD / / MO$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，线段 $OD$ 与 $MC$ 是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $K$ ，点 $E (x, \frac{7}{3})$ 在对称轴上，当 $m > 2$ ， $n > 0$ ，且直线 $EM$ 交 $x$ 轴的负半轴于点 $F$ 时，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $EM$ 于点 $N$ ， $G$ 为 $y$ 轴上一点，点 $G$ 的坐标为 $(0, \frac{18}{5})$ ，连接 $GF$ ．若 $EF + NF = 2 MF$ ，求证：射线 $FE$ 平分 $∠ AFG$ ．